前一篇文章36 投資組合收益率的計算中介紹了收益率的計算方法，作為其姊妹篇，本文主要介紹投資組合風險計量方法的數(shù)學理論基礎(chǔ)。

首先需要搞清楚與度量風險有關(guān)的幾個重要的理論點。不要問為什么，反正很重要。等您把風險度量的原理徹底搞懂的時候自然會明白。由于這個知識點涉及的數(shù)學定義比較多，請您務(wù)必靜下心來認真搞懂每一個點。不論您是高職生，本科生，還是財務(wù)類專業(yè)的研究生，本著夠用，本文沒有過多理論延伸，感興趣的可以自行延伸學習。但是，搞懂本文介紹的幾個點是后續(xù)計算所必須的。

不失一般性，我在文末給出python的程序?qū)崿F(xiàn)，僅供您學習參考。

今天是國慶節(jié)，祝偉大祖國更加繁榮富強！也祝大家國慶快樂！

正文起：

1、方差

方差（variance/deviation Var），這一詞語率先由羅納德·費雪（Ronald Fisher）在其論文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。是在概率論和統(tǒng)計上用來對隨機變量或一組數(shù)據(jù)離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機變量與其數(shù)學期望之間的偏離程度，即二階中心矩。統(tǒng)計中的方差是樣本值與樣本均值離差平方和的平均數(shù)。數(shù)學計算式如下：

1.1 總體方差計算公式

1.2 樣本方差計算公式

實際中總體均值很難取得，人們常用樣本統(tǒng)計量代替總體統(tǒng)計量。經(jīng)校正后，樣本方差計算公式為：

（1）離散型數(shù)據(jù)的方差

即：

（2）連續(xù)型數(shù)據(jù)的方差

即：

另根據(jù)二階矩得：

樣本方差和樣本標準差（方差的平方根）用來衡量一個樣本波動的大小，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。

2、協(xié)方差

兩個實隨機變量X與Y之間的協(xié)方差Cov(X,Y)定義為：

即：

從定義看，協(xié)方差表示兩個變量與其均值誤差乘積的數(shù)學期望。

（1）如果X-E(X)>0 與Y-E(Y)>0，即兩個變量的變化方向一致，則cov(x,y)>0。

（2）如果X-E(X)>0 與Y-E(Y)<0，即兩個變量的變化方向相反，則cov(x,y)<0。

（3）如果X-E(X)<0 與Y-E(Y)>0，即兩個變量的變化方向相反，則cov(x,y)<0。

（4）如果X-E(X)<0 與Y-E(Y)<0，即兩個變量的變化方向一致，則cov(x,y)>0。

顯然，如果x與y彼此獨立，則cov（x,y）=0，因為兩個獨立的隨機變量E[XY]=E[X]E[Y]。協(xié)方差為0的兩個隨機變量是不相關(guān)的。

由協(xié)方差定義知：

Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。即兩組變量一樣的時候的協(xié)方差就是該變量的方差。

顯然，協(xié)方差最明顯的作用是用來判斷變量變動方向是否一致，即變量之間的相關(guān)性。

3、相關(guān)系數(shù)

皮爾遜(Pearson)相關(guān)系數(shù)定義為：

關(guān)于相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差，方差之間的關(guān)系在上面的公式中已經(jīng)表示的很清楚了，在此不做過多說明。對此想深入了解的可以查閱相關(guān)統(tǒng)計學書籍。

4、正定矩陣(positive definite matrix)

（1）廣義定義：設(shè)A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有XTAX>0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置，就稱A為正定矩陣。

如果B為n階方陣，E為單位矩陣，a為正實數(shù)。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。

（2）狹義定義：一個n階的實對稱陣A是正定的，當且僅當對于所有的非零實系數(shù)向量X，都有XTAX> 0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置。

（3）對稱正定矩陣。

一個實對稱矩陣 A 正定，當且僅當存在可逆矩陣C，使得A=CTC；

一個實對稱矩陣 A 正定，當且僅當A 的特征值全大于零；因此，求出A的所有特征值，若A的特征值均為正數(shù)，則A是正定的；若A的特征值均為負數(shù)，則A為負定的。

5、半正定矩陣（positive semidefinite matrix）

（1）廣義定義：設(shè)A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有XTAX≥0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置，就稱A為半正定矩陣。

（2）狹義定義：設(shè)A為實對稱矩陣，若對于每個非零實向量X，都有XTAX≥0，則稱A為半正定矩陣，稱XT'AX為半正定二次型。XT表示X的轉(zhuǎn)置。

設(shè)A是n階實對稱矩陣，A的特征值均為非負的；存在n階實矩陣C，使A=CTC。

6、Cholesky分解

當 A 是一個實對稱正定矩陣（SPD， real Symmetric positive definite matrix）時，它就可以分解成下三角矩陣 C 和上三角矩陣CT的乘積。

即：A=CTC,C為分解出的下三角矩陣。

為啥要介紹這些理論？

因為，后面計算投資組合的標準差（風險），要開根號，根號里的數(shù)據(jù)必須大于等于零。否則在實數(shù)域范圍內(nèi)無法求解。

這些概念將在后面的計算都會用到，所以不要以為是多余的，同時要樹牢觀念，數(shù)學的觀念。

基本概念就介紹這么多，感興趣的可以查閱相關(guān)資料以獲得更加深入的學習。

7、相關(guān)算法程序

不知道何故，系統(tǒng)的代碼塊功能調(diào)試中，今日頭條平臺提示說該功能逐步開放。

有需要查看相關(guān)算法程序的，請查閱并關(guān)注我的微信公眾號文章：37 投資組合風險計量（理論基礎(chǔ)）。

【僅供參考】

授人玫瑰，手留余香。

請關(guān)注我的微信公眾號！

歡迎轉(zhuǎn)發(fā)！鼓勵分享！