前一篇文章36 投資組合收益率的計(jì)算中介紹了收益率的計(jì)算方法，作為其姊妹篇，本文主要介紹投資組合風(fēng)險計(jì)量方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。

首先需要搞清楚與度量風(fēng)險有關(guān)的幾個重要的理論點(diǎn)。不要問為什么，反正很重要。等您把風(fēng)險度量的原理徹底搞懂的時候自然會明白。由于這個知識點(diǎn)涉及的數(shù)學(xué)定義比較多，請您務(wù)必靜下心來認(rèn)真搞懂每一個點(diǎn)。不論您是高職生，本科生，還是財務(wù)類專業(yè)的研究生，本著夠用，本文沒有過多理論延伸，感興趣的可以自行延伸學(xué)習(xí)。但是，搞懂本文介紹的幾個點(diǎn)是后續(xù)計(jì)算所必須的。

不失一般性，我在文末給出python的程序?qū)崿F(xiàn)，僅供您學(xué)習(xí)參考。

今天是國慶節(jié)，祝偉大祖國更加繁榮富強(qiáng)！也祝大家國慶快樂！

正文起：

1、方差

方差（variance/deviation Var），這一詞語率先由羅納德·費(fèi)雪（Ronald Fisher）在其論文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。是在概率論和統(tǒng)計(jì)上用來對隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之間的偏離程度，即二階中心矩。統(tǒng)計(jì)中的方差是樣本值與樣本均值離差平方和的平均數(shù)。數(shù)學(xué)計(jì)算式如下：

1.1 總體方差計(jì)算公式

1.2 樣本方差計(jì)算公式

實(shí)際中總體均值很難取得，人們常用樣本統(tǒng)計(jì)量代替總體統(tǒng)計(jì)量。經(jīng)校正后，樣本方差計(jì)算公式為：

（1）離散型數(shù)據(jù)的方差

即：

（2）連續(xù)型數(shù)據(jù)的方差

即：

另根據(jù)二階矩得：

樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方根）用來衡量一個樣本波動的大小，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。

2、協(xié)方差

兩個實(shí)隨機(jī)變量X與Y之間的協(xié)方差Cov(X,Y)定義為：

即：

從定義看，協(xié)方差表示兩個變量與其均值誤差乘積的數(shù)學(xué)期望。

（1）如果X-E(X)>0 與Y-E(Y)>0，即兩個變量的變化方向一致，則cov(x,y)>0。

（2）如果X-E(X)>0 與Y-E(Y)<0，即兩個變量的變化方向相反，則cov(x,y)<0。

（3）如果X-E(X)<0 與Y-E(Y)>0，即兩個變量的變化方向相反，則cov(x,y)<0。

（4）如果X-E(X)<0 與Y-E(Y)<0，即兩個變量的變化方向一致，則cov(x,y)>0。

顯然，如果x與y彼此獨(dú)立，則cov（x,y）=0，因?yàn)閮蓚€獨(dú)立的隨機(jī)變量E[XY]=E[X]E[Y]。協(xié)方差為0的兩個隨機(jī)變量是不相關(guān)的。

由協(xié)方差定義知：

Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。即兩組變量一樣的時候的協(xié)方差就是該變量的方差。

顯然，協(xié)方差最明顯的作用是用來判斷變量變動方向是否一致，即變量之間的相關(guān)性。

3、相關(guān)系數(shù)

皮爾遜(Pearson)相關(guān)系數(shù)定義為：

關(guān)于相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差，方差之間的關(guān)系在上面的公式中已經(jīng)表示的很清楚了，在此不做過多說明。對此想深入了解的可以查閱相關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)書籍。

4、正定矩陣(positive definite matrix)

（1）廣義定義：設(shè)A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有XTAX>0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置，就稱A為正定矩陣。

如果B為n階方陣，E為單位矩陣，a為正實(shí)數(shù)。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。

（2）狹義定義：一個n階的實(shí)對稱陣A是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有的非零實(shí)系數(shù)向量X，都有XTAX> 0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置。

（3）對稱正定矩陣。

一個實(shí)對稱矩陣 A 正定，當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣C，使得A=CTC；

一個實(shí)對稱矩陣 A 正定，當(dāng)且僅當(dāng)A 的特征值全大于零；因此，求出A的所有特征值，若A的特征值均為正數(shù)，則A是正定的；若A的特征值均為負(fù)數(shù)，則A為負(fù)定的。

5、半正定矩陣（positive semidefinite matrix）

（1）廣義定義：設(shè)A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有XTAX≥0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置，就稱A為半正定矩陣。

（2）狹義定義：設(shè)A為實(shí)對稱矩陣，若對于每個非零實(shí)向量X，都有XTAX≥0，則稱A為半正定矩陣，稱XT'AX為半正定二次型。XT表示X的轉(zhuǎn)置。

設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，A的特征值均為非負(fù)的；存在n階實(shí)矩陣C，使A=CTC。

6、Cholesky分解

當(dāng) A 是一個實(shí)對稱正定矩陣（SPD， real Symmetric positive definite matrix）時，它就可以分解成下三角矩陣 C 和上三角矩陣CT的乘積。

即：A=CTC,C為分解出的下三角矩陣。

為啥要介紹這些理論？

因?yàn)椋竺嬗?jì)算投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差（風(fēng)險），要開根號，根號里的數(shù)據(jù)必須大于等于零。否則在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)無法求解。

這些概念將在后面的計(jì)算都會用到，所以不要以為是多余的，同時要樹牢觀念，數(shù)學(xué)的觀念。

基本概念就介紹這么多，感興趣的可以查閱相關(guān)資料以獲得更加深入的學(xué)習(xí)。

7、相關(guān)算法程序

不知道何故，系統(tǒng)的代碼塊功能調(diào)試中，今日頭條平臺提示說該功能逐步開放。

有需要查看相關(guān)算法程序的，請查閱并關(guān)注我的微信公眾號文章：37 投資組合風(fēng)險計(jì)量（理論基礎(chǔ)）。

【僅供參考】

授人玫瑰，手留余香。

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首先需要搞清楚與度量風(fēng)險有關(guān)的幾個重要的理論點(diǎn)。不要問為什么，反正很重要。等您把風(fēng)險度量的原理徹底搞懂的時候自然會明白。由于這個知識點(diǎn)涉及的數(shù)學(xué)定義比較多，請您務(wù)必靜下心來認(rèn)真搞懂每一個點(diǎn)。不論您是高職生，本科生，還是財務(wù)類專業(yè)的研究生，本著夠用，本文沒有過多理論延伸，感興趣的可以自行延伸學(xué)習(xí)。但是，搞懂本文介紹的幾個點(diǎn)是后續(xù)計(jì)算所必須的。

不失一般性，我在文末給出python的程序?qū)崿F(xiàn)，僅供您學(xué)習(xí)參考。

今天是國慶節(jié)，祝偉大祖國更加繁榮富強(qiáng)！也祝大家國慶快樂！

正文起：

1、方差

方差（variance/deviation Var），這一詞語率先由羅納德·費(fèi)雪（Ronald Fisher）在其論文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。是在概率論和統(tǒng)計(jì)上用來對隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之間的偏離程度，即二階中心矩。統(tǒng)計(jì)中的方差是樣本值與樣本均值離差平方和的平均數(shù)。數(shù)學(xué)計(jì)算式如下：

1.1 總體方差計(jì)算公式

1.2 樣本方差計(jì)算公式

實(shí)際中總體均值很難取得，人們常用樣本統(tǒng)計(jì)量代替總體統(tǒng)計(jì)量。經(jīng)校正后，樣本方差計(jì)算公式為：

（1）離散型數(shù)據(jù)的方差

即：

（2）連續(xù)型數(shù)據(jù)的方差

即：

另根據(jù)二階矩得：

樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方根）用來衡量一個樣本波動的大小，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。

2、協(xié)方差

兩個實(shí)隨機(jī)變量X與Y之間的協(xié)方差Cov(X,Y)定義為：

即：

從定義看，協(xié)方差表示兩個變量與其均值誤差乘積的數(shù)學(xué)期望。

（1）如果X-E(X)>0 與Y-E(Y)>0，即兩個變量的變化方向一致，則cov(x,y)>0。

（2）如果X-E(X)>0 與Y-E(Y)<0，即兩個變量的變化方向相反，則cov(x,y)<0。

（3）如果X-E(X)<0 與Y-E(Y)>0，即兩個變量的變化方向相反，則cov(x,y)<0。

（4）如果X-E(X)<0 與Y-E(Y)<0，即兩個變量的變化方向一致，則cov(x,y)>0。

顯然，如果x與y彼此獨(dú)立，則cov（x,y）=0，因?yàn)閮蓚€獨(dú)立的隨機(jī)變量E[XY]=E[X]E[Y]。協(xié)方差為0的兩個隨機(jī)變量是不相關(guān)的。

由協(xié)方差定義知：

Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。即兩組變量一樣的時候的協(xié)方差就是該變量的方差。

顯然，協(xié)方差最明顯的作用是用來判斷變量變動方向是否一致，即變量之間的相關(guān)性。

3、相關(guān)系數(shù)

皮爾遜(Pearson)相關(guān)系數(shù)定義為：

關(guān)于相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差，方差之間的關(guān)系在上面的公式中已經(jīng)表示的很清楚了，在此不做過多說明。對此想深入了解的可以查閱相關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)書籍。

4、正定矩陣(positive definite matrix)

（1）廣義定義：設(shè)A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有XTAX>0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置，就稱A為正定矩陣。

如果B為n階方陣，E為單位矩陣，a為正實(shí)數(shù)。在a充分大時，aE+B為正定矩陣。

（2）狹義定義：一個n階的實(shí)對稱陣A是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有的非零實(shí)系數(shù)向量X，都有XTAX> 0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置。

（3）對稱正定矩陣。

一個實(shí)對稱矩陣 A 正定，當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣C，使得A=CTC；

一個實(shí)對稱矩陣 A 正定，當(dāng)且僅當(dāng)A 的特征值全大于零；因此，求出A的所有特征值，若A的特征值均為正數(shù)，則A是正定的；若A的特征值均為負(fù)數(shù)，則A為負(fù)定的。

5、半正定矩陣（positive semidefinite matrix）

（1）廣義定義：設(shè)A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有XTAX≥0，其中XT表示X的轉(zhuǎn)置，就稱A為半正定矩陣。

（2）狹義定義：設(shè)A為實(shí)對稱矩陣，若對于每個非零實(shí)向量X，都有XTAX≥0，則稱A為半正定矩陣，稱XT'AX為半正定二次型。XT表示X的轉(zhuǎn)置。

設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，A的特征值均為非負(fù)的；存在n階實(shí)矩陣C，使A=CTC。

6、Cholesky分解

當(dāng) A 是一個實(shí)對稱正定矩陣（SPD， real Symmetric positive definite matrix）時，它就可以分解成下三角矩陣 C 和上三角矩陣CT的乘積。

即：A=CTC,C為分解出的下三角矩陣。

為啥要介紹這些理論？

因?yàn)?，后面?jì)算投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差（風(fēng)險），要開根號，根號里的數(shù)據(jù)必須大于等于零。否則在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)無法求解。

這些概念將在后面的計(jì)算都會用到，所以不要以為是多余的，同時要樹牢觀念，數(shù)學(xué)的觀念。

基本概念就介紹這么多，感興趣的可以查閱相關(guān)資料以獲得更加深入的學(xué)習(xí)。

7、相關(guān)算法程序

不知道何故，系統(tǒng)的代碼塊功能調(diào)試中，今日頭條平臺提示說該功能逐步開放。

有需要查看相關(guān)算法程序的，請查閱并關(guān)注我的微信公眾號文章：37 投資組合風(fēng)險計(jì)量（理論基礎(chǔ)）。

【僅供參考】

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